Olga Dahlgren-Johansson; Matematikundervisning
1979
Artiklarna från Svensk Tidskrifts årsböcker är inskannade och sedan hjälpligt överförda till text. Denna sida ska mest ses som en bas för sökfunktionen. Läsbarheten blir bäst om man väljer PDF-versionen.
Acrobat Reader för att läsa PDF kan hämtas här.
Öppna PDF
Öppna text
OLGA DAHLGREN-JOHANSSON:
Matematikundervisning
Trots alla tekniska hjälpmedel ärfortfarande
det egna huvudet det bästa hjälpmedlet i
matematik. M en då måsteförst av allt
basfärdigheterna vara en naturlig del av en
själv och de enkla reglernafrån t ex algebran
kännas naturliga att använda, skriver
läroverksadjunkten Olga DahlgrenJohansson i Svensk Tidskrifts serie om
undervisningen i skolan. N edskärningen av
timantalet har emellertid medfört att endast
de bästa eleverna hinner öva tillräckligt. De
stora heterogena undervisningsgrupperna
gör också att varje elev aldrig kan få den
personliga stimulans som en god lärare
strävar efter. Detfinns många ungdomar
som harfallenhet för matematisktnaturvetenskapliga studier. Om de finge
stimulans redan i grundskolan skulle de
upptäcka att matematik är en skön konst,
skriverförfattaren.
Matematik är ett ämne, som följer alla svenska skolelever obligatoriskt under nio år iskolan. Man borde då kunna utgå ifrån att en
16-åring när hon/han lämnar årskurs 9 i
grundskolan har en gedigen grund att stå
på. Tyvärr är det inte alltid fallet. En stor del
av 16-åringarna fortsätter i gymnasieskola
och en del av dessa får då matematikundervisning under ytterligare 1-3 år. Trots 12
års matematikstudier har tiden för t ex en
elev, som gått ut N-linjen (naturvetenskaplig
linje) minskat. Enligt Matts Håstad, som nyligen framlagt en doktorsavhandling om matematikundervisning, har en elev, som gått
ut N-linjen, arbetat l 400 timmar med matematik. För 20 år sedan var motsvarande tid
över l 800 timmar. I det följande skall jag
redovisa några reflexioner med utgångspunkt från mina erfarenheter som matematiklärare på såväl gymnasieskola sorri grund·
skolans högstadium.
Enligt nu gällande timplaner för grundskolans högstadium – Lgr 69 – läser man 4
veckotimmar matematik i vardera årskurs 7
8 och 9. Det innebär 4 gånger 40 minuter
per vecka under 3 läsår, dys totalt 8 ”klod·
timmar”. Det förslag tillläroplan för grundskolan, som nu är ute på remiss har i ställel
7,5 ”klock-timmar”. Det kan tyckas vara ea
obetydlig sänkning av undervisningstiden
men innebär skrämmande perspektiv för ea
matematiklärare. Alla har gått i skolan och
de flesta människor är väl medvetna om att
matematik på skolstadiet är ett typiskt åf.
ningsämne i den meningen att man måst
öva för att få färdighet. Då kunskaper och
fårdigheter i läsning, skrivning och räknU.,
sedan gammalt anses behövliga för att mall
skall fungera i samhället och inga vetenskapliga undersökningar vederlagt detta, borde
det höra till de mänskliga rättigheterna att få
tillräckligt omfattande undervisning i den
obligatoriska skolan i matematik.
Än så länge har vi i matematik, liksom i
språken, alternativkurser på grundskolans
högstadium. På så sätt kan de, som så önskar, fördjupa sina baskunskaper genom att
välja särskild kurs i matematik, medan övriga läser den allmänna kursen. Undervisningsgrupperna blir visserligen ändå långt
ifrån homogena, men lärarnas möjlighet att
anpassa undervisningen efter vars och ens
förmåga är större än i helt sammanhållna
klasser. Mycket beror naturligtvis också på
storleken av undervisningsgrupperna. Jag
har själv försökt att i en sammanhållen klass
med 30 elever undervisa elever med såväl
allmän som särskild kurs. Erfarenheterna
var nedslående, och försöket avbröts. Kanske hade det slagit bättre ut i en mindre
grupp? Skall alternativkurserna avskaffas
måste resurser till för att säkerställa alla elevernas behov, såväl de svagpresterandes som
övrigas.
Det kan inte hjälpas att man misströstar
ibland som matematiklärare, t ex när jag
märker att elevernas räkneförmåga minskar
istället för att ökas. Som experiment har jag
haft samma diagnostiska prov i årskurs 7
och årskurs 8 hos samma elever, när de arbetat genom motsvarande del av kursen. Samtliga elever utom en fick sämre eller samma
resultat andra gången. Han som fick bättre
resultat var ovanligt ambitiös, och jag unnade verkligen honom framgången. Detta
bände på allmän kurs, där tyvärr inte alla
127
känner lust inför skolarbetet. Ändå fortsätter många av dem i gymnasieskolan. Orsaken därtill är i många fall att ungdomarna ej
kan få arbete efter avslutad grundskola.
Man måste tycka synd om dessa, som ”studerar” mot sin egentliga vilja. Det resulterar
ofta i allmän håglöshet med skolk.
De allmänna gymnasielinjerna
Åter till matematiken. På gymnasiet finns tre
olika kurser i matematik, som jag har erfarenhet av. Det är den två-åriga ekonomiska
och sociala linjens matematik, den tre-åriga
ekonomiska, humanistiska och samhällsvetenskapliga och den tre-åriga naturvetenskapliga linjens matematik. Om jag börjar
med den två-åriga linjens matematik, finns
den obligatoriskt på de ekonomiska och sociala linjerna men kan läsas som tillvalsämne
på andra linjer. Vid min skola har vi konsumtionslinje och distributions- och kontorslinje. Har man tur är tillvalsgrupperna små
– bara 5-10 elever. Då märker man hur
mycket gruppstorleken betyder för att man
verkligen skall kunna hjälpa alla. Enligt nu
gällande läroplan skall eleverna ”uppöva
den numeriska räknefårdigheten, i synnerhet med tekniska hjälpmedel, skaffa sig kunskap om några elementära begrepp inom
sannolikhetslära och statistik samt utveckla
förmåga att tillämpa matematiken inom olika verksamhetsområden.” I anvisningarna
står bl a ”För många kommer matematiken
att vara ett värdefullt hjälpmedel för fortsatta studier eller fortsatt yrkesverksamhet.”
Det låter väl bra? Jag har sett många elever i många klasser komma och gå. I flera
128
fall tror jag att de både förstått matematikkursen och kunnat använda matematik i sina
fortsatta studier eller sin fortsatta yrkesverksamhet. Men långt ifrån alla är så lyckligt
lottade. Jag tänker på alla dem, som kämpar
för att få uppgift efter uppgift att stämma
med facit. De har säkert aldrig förstått att
matematik är en skön konst. Det är ofta rö-
rande med dessa, som behöver hjälp med
uppgift efter uppgift, även om det bara
skiljer på siffervärdena. Det känns emellertid rätt tröstlöst. Där har skolan misslyckats.
Men var ligger felet?
Det är kusligt att efter Il år i skolan inte
veta vad som skall ”stå överst” i en division –
eller numera ofta ”slås in först” på räknedosan. För att inte tala om hur svårt det är att
fatta procenträkning. Procenträkning är en
av mina käpphästar. En annan är rimlighetskontroll. Det är skrämmande att rätta en
skrivning där t ex avståndet till solen blivit
10 mil, många andra hårresande resultat att
förglömma. Kan man bara avgöra rimligheten av ett uträknat värde är mycket vunnet.
Här kommer också överslagsräkningen in.
Alla borde ha intresse av att öva överslagsräkning, t ex inför besök på ett snabbköp.
För inträde på två-årig linje krävs ej särskild kurs. (Jag talar ej om tekniska linjer,
som jag inte har någon erfarenhet av.)
Många har i alla fallläst särskild kurs i matematik på högstadiet. Grupperna blir därför
mycket heterogena, vilket naturligtvis ökar
arbetet för läraren, som vill ge alla vad de
behöver.
På de tre-åriga linjerna är det samma kurs
i årskurs l av ekonomisk, humanistisk och
samhällsvetenskaplig linje. Även här ger allmän kurs i matematik behörighet för inträ-
de. För dem, som släpper ämnet efter ett år,
kan det möjligen räcka. Det gäller humanisterna och en del av ekonomerna. Men i praktiken är det för svag grund för dem som
fortsätter med matematik alla tre åren. Det
fordras en orimligt stor arbetsbörda för an
dessa skall nå ett någorlunda gott resultat
Många ger också upp. Det finns möjlighet
till stödundervisning, men eftersom den
brukar bli förlagd till fritiden vill inte alla
taga emot sådan.
På dessa linjer är det mest matematik som
hjälpmedel det handlar om. Antingen det
gäller ekonomiska eller samhällsvetenskapliga tillämpningar skall det kännas naturligt
att använda sig av den matematiska
begreppsapparaten. Många elever visar intresse och fallenhet för ämnet och sådant
sporrar läraren att ge sitt allra bästa. På sl
sätt blir undervisningen mera stimulerande
för alla parter. Naturligtvis hänger inte alla
med i de mera teoretiska resonemangen,
men det är inte där tyngdpunkten ligger.
Det gäller att kunna tillämpa rätt regler vid
rätt tillfälle. Man skall helt enkelt använda
sitt sunda förnuft och sin matematiska skolning samtidigt.
Naturvetenskapliga linjen
Sista – och största – kursen är NT-kursen.
På min skola har vi ingen teknisk linje odt
därför håller jag mig till den naturvetenskapliga linjen. Mina erfarenheter av dm
linjen är goda. N-linjen har- med rätt eDer
orätt – fått ord om sig att vara en elitlinje.
Jag skulle önska att fler ville pröva på dm
allmänbildning man får där. I de klasser jag
har undervisat i matematik har inte alla haft
lika lätt för sig. Men andan har varit mycket
positiv och alla har hjälpt varandra. Jag har
inte haft intryck av att man varit rädd att
”femmorna skall ta slut”. Det är ju annars en
ofta påtalad effekt av det relativa betygssystemet. Jag har haft elever, som fått arbeta
mycket för att kunna följa med i undervisningen inte bara i matematik utan också i
fysik och/eller kemi. Men de har inte velat
byta till någon annan linje därför att de upplevt gemenskapen i klassen så positivt.
Sedan jag började som lärare för över 30
år sedan har kurserna ändrats flera gånger.
Det är därför inte lätt attjämföra kunskaperna hos dagens elever på N-linjen med gamla
tiders realstudenter. Rekryteringen har som
bekant också breddats. Så mycket står jag i
alla fall för, att det även nu finns många
ungdomar, som har fallenhet för matematiskt-naturvetenskapliga studier. Dessa skulle må gott av att redan från yngre år få
stimulans. De duktigaste klarar sig alltid,
brukar man säga. Men de behöver i alla fall
något att se fram emot. De behöver märka
att samhället behöver dem.
Skiktet närmast under är det värre med.
Jag tror inte Sverige har råd att slösa bort
dem, om vi skall kunna hävda oss internationellt. Det räcker inte med någon enstaka
topp-prestation. Vi behöver många naturvetenskapligt välutbildade personer. Man skall
ha förmåga att formulera sitt problem och
129
finna en konstruktiv lösning, antingen man
själv presenterar den eller lämnar problemet
vidare till en specialist.
Det absolut trevligaste man har som matematiklärare är då man ser ett ljus tändas i
ögonen på en elev när hon/han fattat ett
bevis eller ett resonemang. Det inträffar
fortfarande och särskilt på naturvetenskaplig linje. Trots alla tekniska hjälpmedel är
fortfarande det egna huvudet det bästa
hjälpmedlet i matematik. Men då måste först
av allt basfärdigheterna vara en naturlig del
av en själv och de enkla reglerna från t ex
algebran kännas naturliga att använda. Som
ren matematiker kan man sedan nöja sig
med en soffa och en papperskorg i sitt arbetsrum, som den danske matematikern Harald Bohr (död 1951) brukade säga.
Med hjälp av nutidens datorer kan de
rena matematikernas teorier sedan testas på
praktiska problem. Den numeriska analysen
är här ett väsentligt hjälpmedel, som på skolstadiet kommer in i matematikämnet. Det
har påbörjats försök med datavariant på Nlinjen. Kanske ökas N-linjens popularitet när
försöken vidgas?
Som vanligt är det svårt att sia om framtiden. Men utan grundläggande baskunskaper kan man inte bygga vidare. Därför hoppas jag, att våra beslutsfattare ser till att alla
får chansen att lära sig grunderna, så att så
många som möjligt kan inse nyttan och nöjet
av matematikundervisning.
Matematikundervisning
Trots alla tekniska hjälpmedel ärfortfarande
det egna huvudet det bästa hjälpmedlet i
matematik. M en då måsteförst av allt
basfärdigheterna vara en naturlig del av en
själv och de enkla reglernafrån t ex algebran
kännas naturliga att använda, skriver
läroverksadjunkten Olga DahlgrenJohansson i Svensk Tidskrifts serie om
undervisningen i skolan. N edskärningen av
timantalet har emellertid medfört att endast
de bästa eleverna hinner öva tillräckligt. De
stora heterogena undervisningsgrupperna
gör också att varje elev aldrig kan få den
personliga stimulans som en god lärare
strävar efter. Detfinns många ungdomar
som harfallenhet för matematisktnaturvetenskapliga studier. Om de finge
stimulans redan i grundskolan skulle de
upptäcka att matematik är en skön konst,
skriverförfattaren.
Matematik är ett ämne, som följer alla svenska skolelever obligatoriskt under nio år iskolan. Man borde då kunna utgå ifrån att en
16-åring när hon/han lämnar årskurs 9 i
grundskolan har en gedigen grund att stå
på. Tyvärr är det inte alltid fallet. En stor del
av 16-åringarna fortsätter i gymnasieskola
och en del av dessa får då matematikundervisning under ytterligare 1-3 år. Trots 12
års matematikstudier har tiden för t ex en
elev, som gått ut N-linjen (naturvetenskaplig
linje) minskat. Enligt Matts Håstad, som nyligen framlagt en doktorsavhandling om matematikundervisning, har en elev, som gått
ut N-linjen, arbetat l 400 timmar med matematik. För 20 år sedan var motsvarande tid
över l 800 timmar. I det följande skall jag
redovisa några reflexioner med utgångspunkt från mina erfarenheter som matematiklärare på såväl gymnasieskola sorri grund·
skolans högstadium.
Enligt nu gällande timplaner för grundskolans högstadium – Lgr 69 – läser man 4
veckotimmar matematik i vardera årskurs 7
8 och 9. Det innebär 4 gånger 40 minuter
per vecka under 3 läsår, dys totalt 8 ”klod·
timmar”. Det förslag tillläroplan för grundskolan, som nu är ute på remiss har i ställel
7,5 ”klock-timmar”. Det kan tyckas vara ea
obetydlig sänkning av undervisningstiden
men innebär skrämmande perspektiv för ea
matematiklärare. Alla har gått i skolan och
de flesta människor är väl medvetna om att
matematik på skolstadiet är ett typiskt åf.
ningsämne i den meningen att man måst
öva för att få färdighet. Då kunskaper och
fårdigheter i läsning, skrivning och räknU.,
sedan gammalt anses behövliga för att mall
skall fungera i samhället och inga vetenskapliga undersökningar vederlagt detta, borde
det höra till de mänskliga rättigheterna att få
tillräckligt omfattande undervisning i den
obligatoriska skolan i matematik.
Än så länge har vi i matematik, liksom i
språken, alternativkurser på grundskolans
högstadium. På så sätt kan de, som så önskar, fördjupa sina baskunskaper genom att
välja särskild kurs i matematik, medan övriga läser den allmänna kursen. Undervisningsgrupperna blir visserligen ändå långt
ifrån homogena, men lärarnas möjlighet att
anpassa undervisningen efter vars och ens
förmåga är större än i helt sammanhållna
klasser. Mycket beror naturligtvis också på
storleken av undervisningsgrupperna. Jag
har själv försökt att i en sammanhållen klass
med 30 elever undervisa elever med såväl
allmän som särskild kurs. Erfarenheterna
var nedslående, och försöket avbröts. Kanske hade det slagit bättre ut i en mindre
grupp? Skall alternativkurserna avskaffas
måste resurser till för att säkerställa alla elevernas behov, såväl de svagpresterandes som
övrigas.
Det kan inte hjälpas att man misströstar
ibland som matematiklärare, t ex när jag
märker att elevernas räkneförmåga minskar
istället för att ökas. Som experiment har jag
haft samma diagnostiska prov i årskurs 7
och årskurs 8 hos samma elever, när de arbetat genom motsvarande del av kursen. Samtliga elever utom en fick sämre eller samma
resultat andra gången. Han som fick bättre
resultat var ovanligt ambitiös, och jag unnade verkligen honom framgången. Detta
bände på allmän kurs, där tyvärr inte alla
127
känner lust inför skolarbetet. Ändå fortsätter många av dem i gymnasieskolan. Orsaken därtill är i många fall att ungdomarna ej
kan få arbete efter avslutad grundskola.
Man måste tycka synd om dessa, som ”studerar” mot sin egentliga vilja. Det resulterar
ofta i allmän håglöshet med skolk.
De allmänna gymnasielinjerna
Åter till matematiken. På gymnasiet finns tre
olika kurser i matematik, som jag har erfarenhet av. Det är den två-åriga ekonomiska
och sociala linjens matematik, den tre-åriga
ekonomiska, humanistiska och samhällsvetenskapliga och den tre-åriga naturvetenskapliga linjens matematik. Om jag börjar
med den två-åriga linjens matematik, finns
den obligatoriskt på de ekonomiska och sociala linjerna men kan läsas som tillvalsämne
på andra linjer. Vid min skola har vi konsumtionslinje och distributions- och kontorslinje. Har man tur är tillvalsgrupperna små
– bara 5-10 elever. Då märker man hur
mycket gruppstorleken betyder för att man
verkligen skall kunna hjälpa alla. Enligt nu
gällande läroplan skall eleverna ”uppöva
den numeriska räknefårdigheten, i synnerhet med tekniska hjälpmedel, skaffa sig kunskap om några elementära begrepp inom
sannolikhetslära och statistik samt utveckla
förmåga att tillämpa matematiken inom olika verksamhetsområden.” I anvisningarna
står bl a ”För många kommer matematiken
att vara ett värdefullt hjälpmedel för fortsatta studier eller fortsatt yrkesverksamhet.”
Det låter väl bra? Jag har sett många elever i många klasser komma och gå. I flera
128
fall tror jag att de både förstått matematikkursen och kunnat använda matematik i sina
fortsatta studier eller sin fortsatta yrkesverksamhet. Men långt ifrån alla är så lyckligt
lottade. Jag tänker på alla dem, som kämpar
för att få uppgift efter uppgift att stämma
med facit. De har säkert aldrig förstått att
matematik är en skön konst. Det är ofta rö-
rande med dessa, som behöver hjälp med
uppgift efter uppgift, även om det bara
skiljer på siffervärdena. Det känns emellertid rätt tröstlöst. Där har skolan misslyckats.
Men var ligger felet?
Det är kusligt att efter Il år i skolan inte
veta vad som skall ”stå överst” i en division –
eller numera ofta ”slås in först” på räknedosan. För att inte tala om hur svårt det är att
fatta procenträkning. Procenträkning är en
av mina käpphästar. En annan är rimlighetskontroll. Det är skrämmande att rätta en
skrivning där t ex avståndet till solen blivit
10 mil, många andra hårresande resultat att
förglömma. Kan man bara avgöra rimligheten av ett uträknat värde är mycket vunnet.
Här kommer också överslagsräkningen in.
Alla borde ha intresse av att öva överslagsräkning, t ex inför besök på ett snabbköp.
För inträde på två-årig linje krävs ej särskild kurs. (Jag talar ej om tekniska linjer,
som jag inte har någon erfarenhet av.)
Många har i alla fallläst särskild kurs i matematik på högstadiet. Grupperna blir därför
mycket heterogena, vilket naturligtvis ökar
arbetet för läraren, som vill ge alla vad de
behöver.
På de tre-åriga linjerna är det samma kurs
i årskurs l av ekonomisk, humanistisk och
samhällsvetenskaplig linje. Även här ger allmän kurs i matematik behörighet för inträ-
de. För dem, som släpper ämnet efter ett år,
kan det möjligen räcka. Det gäller humanisterna och en del av ekonomerna. Men i praktiken är det för svag grund för dem som
fortsätter med matematik alla tre åren. Det
fordras en orimligt stor arbetsbörda för an
dessa skall nå ett någorlunda gott resultat
Många ger också upp. Det finns möjlighet
till stödundervisning, men eftersom den
brukar bli förlagd till fritiden vill inte alla
taga emot sådan.
På dessa linjer är det mest matematik som
hjälpmedel det handlar om. Antingen det
gäller ekonomiska eller samhällsvetenskapliga tillämpningar skall det kännas naturligt
att använda sig av den matematiska
begreppsapparaten. Många elever visar intresse och fallenhet för ämnet och sådant
sporrar läraren att ge sitt allra bästa. På sl
sätt blir undervisningen mera stimulerande
för alla parter. Naturligtvis hänger inte alla
med i de mera teoretiska resonemangen,
men det är inte där tyngdpunkten ligger.
Det gäller att kunna tillämpa rätt regler vid
rätt tillfälle. Man skall helt enkelt använda
sitt sunda förnuft och sin matematiska skolning samtidigt.
Naturvetenskapliga linjen
Sista – och största – kursen är NT-kursen.
På min skola har vi ingen teknisk linje odt
därför håller jag mig till den naturvetenskapliga linjen. Mina erfarenheter av dm
linjen är goda. N-linjen har- med rätt eDer
orätt – fått ord om sig att vara en elitlinje.
Jag skulle önska att fler ville pröva på dm
allmänbildning man får där. I de klasser jag
har undervisat i matematik har inte alla haft
lika lätt för sig. Men andan har varit mycket
positiv och alla har hjälpt varandra. Jag har
inte haft intryck av att man varit rädd att
”femmorna skall ta slut”. Det är ju annars en
ofta påtalad effekt av det relativa betygssystemet. Jag har haft elever, som fått arbeta
mycket för att kunna följa med i undervisningen inte bara i matematik utan också i
fysik och/eller kemi. Men de har inte velat
byta till någon annan linje därför att de upplevt gemenskapen i klassen så positivt.
Sedan jag började som lärare för över 30
år sedan har kurserna ändrats flera gånger.
Det är därför inte lätt attjämföra kunskaperna hos dagens elever på N-linjen med gamla
tiders realstudenter. Rekryteringen har som
bekant också breddats. Så mycket står jag i
alla fall för, att det även nu finns många
ungdomar, som har fallenhet för matematiskt-naturvetenskapliga studier. Dessa skulle må gott av att redan från yngre år få
stimulans. De duktigaste klarar sig alltid,
brukar man säga. Men de behöver i alla fall
något att se fram emot. De behöver märka
att samhället behöver dem.
Skiktet närmast under är det värre med.
Jag tror inte Sverige har råd att slösa bort
dem, om vi skall kunna hävda oss internationellt. Det räcker inte med någon enstaka
topp-prestation. Vi behöver många naturvetenskapligt välutbildade personer. Man skall
ha förmåga att formulera sitt problem och
129
finna en konstruktiv lösning, antingen man
själv presenterar den eller lämnar problemet
vidare till en specialist.
Det absolut trevligaste man har som matematiklärare är då man ser ett ljus tändas i
ögonen på en elev när hon/han fattat ett
bevis eller ett resonemang. Det inträffar
fortfarande och särskilt på naturvetenskaplig linje. Trots alla tekniska hjälpmedel är
fortfarande det egna huvudet det bästa
hjälpmedlet i matematik. Men då måste först
av allt basfärdigheterna vara en naturlig del
av en själv och de enkla reglerna från t ex
algebran kännas naturliga att använda. Som
ren matematiker kan man sedan nöja sig
med en soffa och en papperskorg i sitt arbetsrum, som den danske matematikern Harald Bohr (död 1951) brukade säga.
Med hjälp av nutidens datorer kan de
rena matematikernas teorier sedan testas på
praktiska problem. Den numeriska analysen
är här ett väsentligt hjälpmedel, som på skolstadiet kommer in i matematikämnet. Det
har påbörjats försök med datavariant på Nlinjen. Kanske ökas N-linjens popularitet när
försöken vidgas?
Som vanligt är det svårt att sia om framtiden. Men utan grundläggande baskunskaper kan man inte bygga vidare. Därför hoppas jag, att våra beslutsfattare ser till att alla
får chansen att lära sig grunderna, så att så
många som möjligt kan inse nyttan och nöjet
av matematikundervisning.